Sunday, March 17, 2019

 Matriks ditentukan unsur dan notasinya

§ Matriks ditentukan unsur dan notasinya

Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Vektor
Transformasi Geometri

Sebagai contoh:

belajar matematika lebih asyikk

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

JENIS MOBIL	HARGA MOBIL (JUTA)	JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
JENIS MOBIL	HARGA MOBIL (JUTA)	KOTA P	KOTA Q	KOTA R
A	146	34	56	41
B	275	45	36	37
C	528	51	32	46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Matriks harga mobil adalah $\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$
Matriks jumlah penjualan adalah $\begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Lebih sederhana bukan?

Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3
Banyak kolom, n = 3
Ordo matriks, m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

$E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Dimana, $e_{12} = 56$ adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

$E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

Masih bingung? Yuk diskusi di Forum StudioBelajar.com

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari $A_{m x n}$ adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ditranspose menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sifat dari transpose matriks: $(A^T)^T = A$ .

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix}$ dan Jika $B = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$ , maka agar $A = B^T$ , berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $A = B^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end{pmatrix}^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix}$

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

$\frac{1}{2}a = 2c - 3b$ (persamaan ke-1)
2 = a (persamaan ke-2)
b = 2a + 1 (persamaan ke-3)
$\frac{3}{2}c = b + 7$ (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan

$\frac{3}{2}c = b + 7$

$c = \frac{2}{3}(b + 7) = \frac{2}{3}(5 + 7) = 8$ .

Wednesday, March 13, 2019

fikri hadi nugraha 3:05 AM No comments

RPP_SILABUS MTK TEKNOLOGI

fikri hadi nugraha 2:33 AM No comments

RPP_SILABUS MTK TEKNOLOGI

Macam – macam Pola Bilangan

fikri hadi nugraha 5:44 PM No comments

Macam – macam Pola Bilangan
https://drive.google.com/open?id=15mmSmmtKL8Vrbe-ROFTlA12e3yLSZnZS

MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL

fikri hadi nugraha 5:42 PM No comments

MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL

https://drive.google.com/open?id=1Gfvtkoqn84F4iqBV55tg8aIBTWvdk6vc

Sifat-sifat Operasi Bilangan Berpangkat

fikri hadi nugraha 5:41 PM No comments

Sifat-sifat Operasi Bilangan Berpangkat

https://drive.google.com/open?id=1ZuOwkR32vmatUaGbzGZoB19PnRg1DegH

operasi matriks dan sifat sifat

fikri hadi nugraha 5:40 PM No comments

operasi matriks dan sifat sifat
https://drive.google.com/open?id=1xhslm34Rlk6pejEk3t9FyJyRoofdheOY

logika matematika

fikri hadi nugraha 5:39 PM No comments

logika matematika
https://drive.google.com/open?id=1Gjg5A8c-IDzS-LTyHsUGgLEuzlh88tJB

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

fikri hadi nugraha 5:43 PM No comments

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

https://drive.google.com/open?id=1zZRfa6sk5uAmmt6W1BQDClYGK_pCp21A

FUNGSI KUADRAT

fikri hadi nugraha 5:39 PM No comments

FUNGSI KUADRAT

https://drive.google.com/open?id=1SLRm4mbWm_yf1bunK7zehoNCuqPt4dn5

BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL

fikri hadi nugraha 5:39 PM No comments

BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL
https://drive.google.com/open?id=1EVMTuXcbESftoFEDbHuD7OfADJdcE6md

kumpulan vidio pembelajaran

fikri hadi nugraha 5:36 PM No comments

https://drive.google.com/open?id=1dKKkzJGa3INfaQSAfyZzyzTOvzdsGV8j

https://drive.google.com/open?id=1D1CkfML-gUH1_-XtFgOoQHOa0dRszR12

https://drive.google.com/open?id=1DfLDPc2HKDlv07t_YQTBauaQ_9fFQyMy

https://drive.google.com/open?id=1fdSq_H_CQsLpmYCer08wVvw6wAYbGzfE

https://drive.google.com/open?id=1Q37j_uE5knN5xvfg_fyVlMgYSzWwLzs7

https://drive.google.com/open?id=1I5SECLIgSdyrGVnO2G-1L-WwS-FgdMT6

https://drive.google.com/open?id=1QJZq-2WXc0AfQGptXE8-2TGsgFYHk1Dp

https://drive.google.com/open?id=1QRVOSAWVDSVBiTHqaF3kHubpqcN4ffWS

Ukuran Penyebaran Data

fikri hadi nugraha 5:34 PM No comments

Ukuran Penyebaran Data
https://drive.google.com/open?id=1Pt3mpv532HRQf_9Td2zXXp2UyJxtLuhK

Ukuran Pemusatan Data

fikri hadi nugraha 5:24 PM No comments

https://drive.google.com/open?id=1kS0kvY0M74yPDZfmUFsR8bjiLNoqkEG-

Rumus Kuartil, Desil, dan Persentil

fikri hadi nugraha 5:23 PM No comments

https://drive.google.com/open?id=1fkB7wwxb4erUu_jL_5_mWZOIihrQxAJb

PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL, DIAGRAM, DAN DISTRIBUSI FREKUENSI

fikri hadi nugraha 5:22 PM No comments

PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL, DIAGRAM, DAN DISTRIBUSI FREKUENSI

https://drive.google.com/open?id=1CYqyADMg24bVUNSCbL5Qof3qZpNTb2xB

Pengertian Populasi Dan Sampel

fikri hadi nugraha 5:21 PM No comments

Pengertian Populasi Dan Sampel

https://drive.google.com/open?id=1HZ_8d_gTJpL2H-5v0e-4Pd6vxjQJhmi8

Materi Peluang Matematika , Pengertian Dan Penjelasan Rumus Soal Peluang Terlengkap

fikri hadi nugraha 5:20 PM No comments

https://drive.google.com/open?id=1qVr-utbLe260uQe6xAKnlR9YT8V9YXh_

fikri hadi nugraha 6:03 AM No comments

BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL

A. Bilangan Rasional

Bilangan rasional Q = semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk

dengan

Jadi bilangan rasional Q terdiri atas : bulat positif B⁺, bulat negatif B^-, pecahan positif, paecahan negative dan nol

Bilangan rasional terdiri atas :

1. Bilangan bulat, misalnya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

2. Bilangan pecahan, misalnya

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal terbatas, atau dalam bentuk desimal berulang terbatas.

Contoh :

1. 0,5 =

= 0,33333…

= 0,75 5.

= 0,727272…

= 2,5 6.

= 0,212121…

Cara mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa !

Contoh :

a. 0,323232… atau 0,32

Misal : x = 0,323232…

100x = 32,323232…

x = 0,323232…

99x = 32

x =

Jadi 0,323232… =

b. 2,6666… atau 2,6

Missal : x = 2,6666…

10x = 26,6666..

x = 2,6666..

9x = 24

x =

Jadi 2,6666… =

B. Bilangan Irasional

Bahwa bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk

dengan a dan b bilangan bulat, b ¹ 0

Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan

yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional :

, p, log 2, log 3.

Perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh :

= bentuk akar

= 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar

= bentuk akar

= 10 ( rasional) jadi bukan bentuk akar

5) 3

= bentuk akar

= 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar.

Menyederhanakan Bentuk Akar

Bilangan bentuk akar disebut sederhana jika :

1. Indeks ( pangkat akar) tidak dapat diperkecil

2. Tidak ada factor dari radikan (bilangan di bawah tanda akar) yang berpangkat sama besar dengan atau lebih dari indeks.

Jika salah satu atau kedua – duanya tak memenuhi , maka bilangan bentuk akar itu dapat disederhanakan. Dapat juga dengan cara lain yaitu dengan memfaktorkan bilangan di bawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat, dengan salah satu bilangan berupa bilangan kuadrat murni.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.

Jawab :

Operasi Bilangan Pada Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.

Contoh :

Jawab :

2. Perkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akar

Contoh :

Selesaikanlah dan sederhanakanlah.

Jawab :

= (2 x 4) x

= 8 x

= 8

Merasionalkan Penyebut

Dengan menggunakan bentuk akar yang hasil kalinya rasional

Yaitu : 1.

pecahan yang penyebutnya bentuk akar dapat dirasionalkan dengan cara sebagai berikut:

Contoh :

Rasionalkan penyebut dari

Jawab

= 17 - 12

C. BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL

Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan bilangan real berpangkat dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional.

DEFINISI

Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan :